ALEX DEN OUDEN
EINDHOVEN - NEDERLAND

Vierstangen-mechanismen

Four-link mechanisms

Door het aaneenknopen van niet meer dan vier eenvoudige stangetjes kun je de fraaiste (en nuttige) mechanismen construeren. De vier hoekpunten houd je scharnierend zodat de vorm van de vierhoek vrij kan veranderen. Kijk zelf maar ....

Knitting together just four simple rods to form a four-link system offers you the chance to design the most beautiful (and useful) mechanisms. You keep the four angular points pivoting so the shape of the quadrilateral can freely change. As you can see for yourself ....

Dit in tegenstelling tot een systeem van drie stangen. Dat kan maar één enkele vorm hebben. Kijk maar weer ....

Rotsvast.

This in contrast to a triangular system. That can only have the one single shape. Again, have a look ....

Steady as a rock.

Deze mechaniekjes mogen er op het eerste gezicht nogal eenvoudig uitzien, bij nadere studie blijken ze toch wel wat complexer dan je misschien zou denken. Ik zal dat op deze pagina laten zien aan de hand van een aantal geanimeerde vierstangen-mechanismen. Sommige van deze animaties zijn relatief grote bestanden (tot 250 kB) die bij een niet-supersnelle verbinding even tijd nodig hebben voor het downloaden. Soms moet je dus even wachten eer de zaak begint te lopen.

These mechanisms may at first sight seem to be childishly simple. Taking a closer look, you'll find they are rather more complex than you possibly expected. I will show so on this page, by presenting a number of animated four-link mechanisms. Several of these animations are quite large files (up to 250 kB) so, with a non-top speed Internet connection you may have to wait a bit while they download. They will automatically start running as soon as they are fully downloaded.

Er zijn drie basis-typen te onderscheiden

Type 1 - beide staande armen roteren

Dit geval doet zich voor wanneer de lengtes van de vier stangen aan de volgende voorwaarden voldoen:

AB > CD > BC > DA
en:
BC + CD > AB + DA

Voor onderstaand voorbeeld heb ik genomen:

AB = 1 ... BC = 0,62 ... CD = 0,77 ... DA = 0,31

Waarmee aan de voorwaarden wordt voldaan.

We can distinguish three basic types

Type 1 - both vertical links rotate

This is the case when the lengths of the four links satisfy the following conditions:

AB > CD > BC > DA
and:
BC + CD > AB + DA

In the example below I have made:

AB = 1 ... BC = 0.62 ... CD = 0.77 ... DA = 0.31

Which fits the given conditions.

Type 2 - één staande arm roteert, de andere zwenkt heen en weer

Dit geval doet zich voor wanneer de lengtes van de vier stangen aan de volgende voorwaarden voldoen:

DA > BC > CD > AB
en:
CD + DA > AB + BC

Voor onderstaand voorbeeld heb ik genomen:

AB = 1 ... BC = 2 ... CD = 1,33 ... DA = 2,17

Waarmee aan de voorwaarden wordt voldaan.

Type 2 - one of the vertical links rotates, the other swings to and fro

This is the case when the lengths of the four links satisfy the following conditions:

DA > BC > CD > AB
and:
CD + DA > AB + BC

In the example below I have made:

AB = 1 ... BC = 2 ... CD = 1.33 ... DA = 2.17

Which fits the given conditions.

Type 3 - beide staande armen zwenken heen en weer

Dit geval doet zich voor wanneer de lengtes van de vier stangen aan de volgende voorwaarden voldoen:

CD > AB > DA > BC
en:
CD + DA > AB + BC

Voor onderstaand voorbeeld heb ik genomen:

AB = 1 ... BC = 0,33 ... CD = 1,33 ... DA = 0,78

Waarmee aan de voorwaarden wordt voldaan.

Type 3 - both vertical links swing to and fro

This is the case when the lengths of the four links satisfy the following conditions:

CD > AB > DA > BC
and:
CD + DA > AB + BC

In the example below I have made:

AB = 1 ... BC = 0.33 ... CD = 1.33 ... DA = 0.78

Which fits the given conditions.

Interessante speciale uitvoeringen

Rhombisch

Dit geval doet zich voor wanneer de lengtes van de vier stangen aan de volgende voorwaarde voldoen:

BC = CD > AB = DA

Voor onderstaand voorbeeld heb ik genomen:

AB = 1 ... BC = 2,25 ... CD = 2,25 ... DA = 1

Waarmee aan de voorwaarde wordt voldaan.

Interesting special designs

Rhombic

This is the case when the lengths of the four links satisfy the following condition:

BC = CD > AB = DA

In the example below I have made:

AB = 1 ... BC = 2.25 ... CD = 2.25 ... DA = 1

Which fits the given condition.

Dit mechanisme heeft de volgende merkwaardige eigenschap. Wanneer de linker staande arm twee hele omwentelingen heeft gemaakt, heeft de rechter staande arm er precies één gemaakt. Op het moment dat de linkerarm z'n eerste omwenteling voltooit, arriveert de rechterarm precies op 180°. Stel dat de linkerarm met constante hoeksnelheid ω draait, dan fluctueert de snelheid van de rechterarm van sneller dan 1/2 ω als-ie naar rechts wijst tot langzamer dan 1/2 ω als-ie naar links wijst. Gemiddeld is de hoeksnelheid van de rechterarm uiteraard exact 1/2 ω.

This mechanism has the following surprising property. When the left vertical link has completed two complete revolutions, the right vertical link has made exactly one revolution. When the left link has completed its first turn, the right link has arrived at 180° precisely. Supposing the left link to rotate with constant angular speed ω, the speed of the right link then fluctuates between faster than 1/2 ω when it points towards the right and slower than 1/2 ω when it points towards the left. The mean speed of the right link of course is exactly 1/2 ω.

Parallellogram (links)
Antiparallellogram (rechts)

Deze gevallen doen zich voor wanneer de lengtes van de vier stangen aan de volgende voorwaarde voldoen:

BC = DA > AB = CD

Voor onderstaand voorbeeld heb ik genomen:

AB = 1 ... BC = 2,25 ... CD = 1 ... DA = 2,25

Waarmee aan de voorwaarden wordt voldaan.

Parallellogram (left)
Antiparallellogram (right)

For these mechanisms, the lengths of the four links must satisfy the following condition:

BC = DA > AB = CD

In the example below I have made:

AB = 1 ... BC = 2.25 ... CD = 1 ... DA = 2.25

Which fits the given condition.

Bij het parallellogram-mechanisme lopen de linker en rechter staande arm volledig synchroon, dat wil zeggen met dezelfde hoeksnelheid, in dezelfde richting en in fase. Bij het antiparallellogram-mechanisme is dit bepaald niet het geval. Als de linkerarm met constante hoeksnelheid draait, beweegt de rechterarm zich zeer snel als-ie naar rechts wijst en heel langzaam als-ie naar links wijst. Bovendien draaien beide armen in tegengestelde richting.

In the parallellogram mechanism, both vertical links move completely synchronous, that is to say, with the same angular speed, in the same direction, and in phase. In the antiparallellogram device this definetely is not the case. Supposing the left vertical link to rotate with constant angular speed, the right vertical link will move quite fast when pointing towards the right and really slow when pointing towards the left. Furthermore, both links move in opposite directions.

Aan de hier getoonde uitvoeringen kleeft een bezwaar. Twee keer per cyclus staan AB en CD exact in lijn. Het mechanisme ligt dan dus volledig plat. Het kan op dat moment spontaan omslaan, van parallellogram naar antiparallellogram of omgekeerd. Je ziet zoiets gebeuren in onderstaande animatie.

The simple executions shown here are prone to a serious problem. Twice in every cycle, AB and CD are exactly in line. The mechanism is fully flattened. At that moment it may spontaneously switch from parallellogram to antiparallellogram or the other way round. You see this happen in the animation below.

Bij benadering rechtlijnige beweging
naar Watt, versie 1

Dit geval doet zich voor wanneer de vier stangen de volgende lengtes hebben:

AB = 1 ... BC = 0,62 ... CD = 1 ... DA = 2,15

Approximately linear motion
after Watt, version 1

For this mechanism, the lengths of the four links must satisfy the following condition:

AB = 1 ... BC = 0.62 ... CD = 1 ... DA = 2.15

Het middenpunt van BC beschrijft een baan, waarvan het middelste gedeelte een rechte lijn benadert. Ik heb hier de gehele theoretisch mogelijke beweging van het mechanisme getekend, van het ene uiterste punt (AB en BC gestrekt) tot het andere uiterste punt (BC en CD gestrekt).

The midpoint of BC describes a path, the middle section of which approximates a straight line. I have drawn the complete theoretically possible motion of the mechanism, from one endpoint (AB and BC are in line) to the other endpoint (BC and CD are in line).

Watt publiceerde nog een tweede versie van dit mechanisme, met de volgende lengtes:

AB = 1 ... BC = 1 ... CD = 1 ... DA = 2,24

Je gebruikt in dit geval niet het midden van BC, maar een punt dat op 0,52 van B en op 0,48 van C ligt.

Watt published also a second execution of this mechanism, with the following lengths:

AB = 1 ... BC = 1 ... CD = 1 ... DA = 2.24

In this instance, you do not use the midpoint of BC but a point which lies at 0.52 from B and 0.48 from C.

Bij benadering rechtlijnige beweging
naar Watt, versie 2

Dit geval doet zich voor wanneer de stangen de volgende lengtes hebben:

AB = 1 ... BC = 1 ... CD = 1,32 ... DA = 2

Verder is de staaf AB naar onderen verlengd tot punt E en de lengte van AE = 1.

Approximately linear motion
after Watt, version 2

For this mechanism, the lengths of the four links must satisfy the following condition:

AB = 1 ... BC = 1 ... CD = 1.32 ... DA = 2

Furthermore, link AB is elongated downwards to point E and the length of AE = 1.

Het punt E beschrijft een baan, waarvan een gedeelte een rechte lijn benadert.

The point E describes a path, the middle section of which approximates a straight line.

Rechtlijnige beweging naar Tchebychev

Dit geval doet zich voor wanneer de stangen de volgende lengtes hebben:

AB = 1 ... BC = 2,5 ... CD = 2,5 ... DA = 2

Verder is de staaf BC naar boven verlengd tot punt E en de lengte van CE = 2,5.

Rectilinear motion after Tchebychev

For this mechanism, the lengths of the four links must satisfy the following condition:

AB = 1 ... BC = 2.5 ... CD = 2.5 ... DA = 2

Furthermore, link BC is elongated upwards to point E and the length of CE = 2.5.

Het punt E beschrijft een baan, waarvan een gedeelte zeer nauwkeurig een rechte lijn benadert. Dit is een prachtig mechanisme: een lange, keurig rechte (horizontale) slag met vrijwel constante snelheid en als bonus een snelle terugloop. Ook het lichten tijdens de terugloop is bij veel toepassingen een voordeel. De machinebouwer kan met dit mechanisme heel mooie dingen doen!

The point E describes a path, section of which very accurately approximates a straight line. This is a marvellous mechanism: a long and fine straight (horizontal) stroke with nearly constant linear speed and as a premium a quick return stroke. The lifting motion during the backstroke is advantageous in many applications, too. An engineer can perform wonders with this mechanism!

Haakse rechtlijnige beweging naar Tchebychev

Dit geval doet zich voor wanneer de stangen de volgende lengtes hebben:

AB = 1 ... BC = 2,17 ... CD = 2,17 ... DA = 2,83

Verder is de staaf BC naar boven verlengd tot punt E en de lengte van CE = 2,17.

Square rectilinear motion after Tchebychev

For this mechanism, the lengths of the four links must satisfy the following condition:

AB = 1 ... BC = 2.17 ... CD = 2.17 ... DA = 2.83

Furthermore, link BC is elongated upwards to point E and the length of CE = 2.17.

Het punt E beschrijft een baan, waarvan twee gedeelten nauwkeurig een rechte lijn benaderen, die met vrijwel constante snelheid wordt doorlopen; terwijl die twee stukken óók nog eens haaks op elkaar staan. Tenslotte is er ook nog sprake van een snelle terugloop. Kortom, eveneens een prachtig mechanisme waarmee een machinebouwer heel goed uit de voeten kan!

The point E describes a path, two sections of which accurately approximate straight lines. These lines are followed with nearly constant linear speed - at the same time these lines are perpendicular. Finally, the mechanism offers a quick return stroke. In short, another beautiful mechanism offering the engineer unthought of possibilities.

Rechtlijnige beweging naar Roberts

Dit geval doet zich voor wanneer de stangen de volgende lengtes hebben:

AB = 1 ... BC = 1 ... CD = 1 ... DA = 2

Aan de staaf BC zijn twee staven BE en CE bevestigd. Ze hebben beide de lengte BE = CE = 1, zodat zij samen met BC een stijve gelijkzijdige driehoek vormen. In de middenstand zie je in dit mechanisme dus drie gelijkzijdige driehoeken.

N.B. punt E is (en blijft) los van DA!

Rectilinear motion after Roberts

For this mechanism, the lengths of the links must satisfy the following condition:

AB = 1 ... BC = 1 ... CD = 1 ... DA = 2

Two links BE and CE are attached to link BC. Both have a length of BE = CE = 1, so together these three form a stiff equilateral triangle. In the middle position, this mechanism shows three equilateral triangles side by side.

N.B. point E is (and remains) unattached to DA!

Punt E beschrijft een baan, waarvan het middelste gedeelte een rechte lijn benadert. Ik heb hier de gehele theoretisch mogelijke beweging van het mechanisme getekend, van het ene uiterste punt (AB en BC gestrekt) tot het andere uiterste punt (BC en CD gestrekt).

The point E describes a path, the middle section of which approximates a straight line. I have drawn the complete theoretically possible motion of the mechanism, from one endpoint (AB and BC are in line) to the other endpoint (BC and CD are in line).

Als de staaf AB met constante hoeksnelheid beweegt, is de snelheid van het punt E op het linker uiteinde van de baan duidelijk hoger dan die op het rechteruiteinde van de baan.

Supposing link AB rotates with constant angular speed, the speed of point E at the left end of its path is markedly higher than that at the right end of its path.

Roberts publiceerde meerdere versies van dit mechanisme, met dezelfde eigenschap:

AB = 1 ... BC =1,1 ... CD = 1 ... DA =1,89 ... BE = CE = 1,96
AB = 1 ... BC = 0,9 ... CD = 1 ... DA = 2,2 ... BE = CE = 1,4

Roberts published several executions of this mechanism, all with the same property:

AB = 1 ... BC =1.1 ... CD = 1 ... DA =1.89 ... BE = CE = 1.96
AB = 1 ... BC = 0.9 ... CD = 1 ... DA = 2.2 ... BE = CE = 1.4

Rechtlijnige beweging naar Evans

Dit geval doet zich voor wanneer de stangen de volgende lengtes hebben:

AB = 1 ... BC = 1 ... CD = zo lang mogelijk ... DA = afhankelijk van CD

Verder is de staaf BC naar links verlengd tot punt E en de lengte van BE = 1.

Punt E beschrijft een baan, waarvan het middelste gedeelte een rechte lijn benadert. De approximatie wordt beter naarmate CD langer gekozen wordt.
De baan wordt exact recht voor CD → ∞.

Rectilinear motion after Evans

For this mechanism, the links must have the following lengths:

AB = 1 ... BC = 1 ... CD = as great as possible ... DA = depends on CD.

Furthermore, link BC is elongated towards the left to point E and the length of BE = 1.

The point E describes a path, the middle section of which approximates a straight line. The approximation improves with increasing length of CD.
The path becomes an exact straight line for CD → ∞.